Tema 7. TEORIA DE LA PROBABILIDAD: Conceptos básicos. Distribución y reglas básicas de la probabilidad. Teorema de Bayés. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de probabilidad continua: normal o campana de Gauss.

      PROBABILIDAD

• El concepto de probabilidad es muy frecuente para comunicarnos y entendernos
• Ejemplo: las probabilidades de sobrevivir a una operación son del 50% 
• Ejemplo: un paciente que ingresa en el hospital “A” tiene un 15% de padecer una infección hospitalaria 
• Ejemplo: durante este invierno la prevalencia de enfermedades respiratorias es del 13%. 13 de cada 100 ciudadanos padece una enfermedad respiratoria durante el invierno
• En todos estos ejemplos se está dando la medida de ocurrencia de un evento que es incierto: sobrevivir a la operación, tener una infección hospitalaria o la ocurrencia de enfermedades respiratorias. 

• Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes) 

• En estos ejemplos, si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado. 
• Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones. Cuanto más probable es que ocurre un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o al 100% y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.
• Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vertientes: 

PROBABILIDAD CLÁSICA O “A PRIORI” 

      - Data del siglo XVIII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas...) 
- Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto. 

- Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es   de 1/6=0,16.
 
- Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N. 

      - P(E) = 𝒎/𝑵

      - Ej: La probabilidad “a priori” de que salga un As en una baraja de Póker (52 cartas) será:
- P(As)=4/52 =0,769=7,7%

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS 

La probabilidad a priori de que salga un número en el dado es P(A)= 1/6 =0,166=16,6%

Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori” 

PROBABILIDAD RELATIVA O “A POSTERIORI” 

·       DEFINICIÓN: Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E 

·       P(E) = 𝒎𝒏

(Si n es suficientemente grande) p = lim fr nà∞ 

P(A)= 1/6 =0,166=16,6%

Dicho de otra forma, si el número de determinaciones (repeticiones de un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica. 

TEOREMA DE BAYES 

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. 

En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. 

Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN VARIABLES DISCRETAS: BINOMIAL Y POISSON 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas 

 –  Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo...) 


        –  El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 


        –  La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q. 


        –  El experimento consta de un número n de pruebas. 


• Mediante esta distribución se resuelven los problemas que plantean: 

      – Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces? 

• P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia 

• X: número sucesos favorables


• N: número total de ensayos 

    – Y... recordar que por definición el factorial de un número 0 es igual a 1. 

TIPIFICACIÓN DE LOS VALORES Y SU RELACIÓN CON LA CAMPANA DE GAUSS

La tipificación de los valores se puede realizar sí ... 

• Trabajamos con unas variables continuas que: 

– Sigue una distribución normal (TLC)


– Y tiene más de 100 unidades (LGN) 

• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia

Y hasta aquí el tema 7. Para estos temas es muy conveniente practicar con ejercicios para comprender bien los conceptos. ¡Espero que os sirva de ayuda! 😊😊😊